什么是随机变量的分布函数

随机变量的分布函数（也称为累积分布函数，记作F(x)）是一个定义在实数线上的函数，它描述了随机变量X取值小于或等于某个实数x的概率。分布函数具有以下性质：

1. 非减性：对于任意的实数x1和x2，如果x1 < x2，则F(x1) ≤ F(x2)。

2. 右连续性：分布函数在其定义域内是右连续的。

3. 极限性质：当x趋向负无穷时，F(x)趋向于0；当x趋向正无穷时，F(x)趋向于1。即

    \[\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to \infty} F(x) = 1\]

4. P(X ∈ (a, b)) = F(b) - F(a)，其中P表示概率，(a, b)是实数线上的一个开区间。

分布函数完全确定了随机变量X的概率分布。对于连续随机变量，分布函数是其概率密度函数的积分；对于离散随机变量，分布函数是其概率质量函数的累积和。通过分布函数，可以计算随机变量落在某个区间内的概率，从而分析随机现象的统计特性。